Numerik Klausur

A1:
a) Polynominterpolation zu 5 Punkten -> Polynom vom Grad 4 mit Newton Verfahren -> Easy (+5P)
b) Man sollte Stützpunkte über die Festlegung einer Variable in Formeln für die Stützpunkte diese so festlegen, dass der Interpolationsfehler bei der Polynominterpolation von ln(x) kleienr als 10^(-6) wird. Hier bin ich auf die Musterlösung gespannt... Mit Cauchys Formel kann man an einem bestimmten Punkt den Fehler ausrechnen. Aber in der Aufgabe wurde gesagt, , "damit der Fehler bei der I. in den Knoten"... In den Knoten ist der Fehler doch immer 0. (+0P) :-(
A2:
a) Es ist f(x) gegeben als abschnittsweise über Polynome interpolierte Funktion. Über die Wahl der Intervalle ergibt sich, dass man aus der Definition direkt die Stützstellen und Stützwerte berechnen kann. Daraus ergibt sich, dass f weder periodisch (schon f(-5) != f(3)!!!) noch natürlich ist, wie in b) zu zeigen. Da aber die von f interpolierte Funktion nicht gegeben ist, lässt sich nicht prüfen, ob Hermite-Randbedingungen vorliegen. Vielleicht mach ich mir das auch zu schwer und es war einfach gefordert, dass man durch richtige Wahl der Parameter an den Randstellen die richtigen Funktionswerte heraus bekommt. :-/ Direkt ein genau spezifiziertes Spline ausrechnen, hätte mir wohl mehr gelegen. (+0P?) :-(
b) Man soll zeigen, dass f kein natürliches Spline ist. Das ist einfach, da f''(a) != 0 und sogar f''(b) != 0. (+4P?) :-(
A3:
a) Cholesky Zerlegung eineer 4x4-Matrix. Einfach. (+5P)
b) Implikationen der Existenz der Cholesky-Zerlegung einer Matrix A für die Matrix A und Optimierungsvorschläge. Ersteres ist klar. Das andere aber kp. Warte auf Musterlösung dafür. (+2P?) :-/
A4:
a) Ist II Matrixnorm und E die Einhatsmatrix => IEI = 1 beweisen. Müsste eigentlich einfach sein. Habs aber irgendwie nicht hinbekommen. (+0P) :-(
b) Für alle orthognalen reellen nxn Matrizen U gilt für cond(U)=1 zur Spektralnorm. War einfach, da in der Spektralnorm A*transponiert(A) genommen wird und das bei orthogonalen auf E hinausläuft und Maximum der Eigenwerte von E halt 1 ist. (+5P)
A5:
a) Mit Gerschgorin Abschätzung von Eigenwerten. Hab ich ansatzweise. (+2P?)
b) Am nächsten bei 1 liegende EW annähern per Wielandt-Iteration mit Shift... Hatte ich vorher noch nie von gehört. Habe zu Eigenwertproblemen für Numerik gelernt: Mises, Householder-Transformation, Wilkinson, Gerschgorin-Kreise. Wielandt war nicht dabei. (+0P) :-(
A6:
a) Ein Schritt im SOR-Verfahren über eine 4x4-Matrix. Einfach. (+5P)
b) Konvergenz nachweisen mit Sassenfeld-Kriterium. Konnte ich wegen des Zeitdrucks nicht mehr (erst geskippt und dann am Ende keine Zeit mehr). FAIL. (+0P) :-(
A7:
a) Fixpunkt einer Funktion von R^2 in R^2 finden mit Newton. Hab es in Nullstellenproblem gewandelt und nach Knorrenschild die erste Näherungslösung iteriert. Bzw bin erst zum Gleichungssystem gekommen und das war total fies. Daher wohl nur Teilpunkte hier wenn überhaupt. (+2P) :-/
b) Mit Banachschem Fixpunktverfahren für die Funktion da oben mit D=[-1, 1]^2 Konvergenz nachweisen. WTF? (+0P)
A8:
a) Mit summierter Trapezregel zu h=1 und h=0.5 Näherungen eines Integrals geben mit Fehlerabschätzung. Werd ich so in etwa haben. (+2P)
b) Schrittweite für Fehler < 10^-4. Hab ich auch so fast. Hoffe ich. (+2P?)
c) Gauß-Quadratur darauf. Auch hierfür war keine Zeit mehr. (+0P)

Macht summa summarum mit viel Glück etwa: 32??? von 80 Punkten. FAIL! Naja, kommt drauf an, wie gut die Selbsteinschätzung der Fehler war und dann am Ende die Bestehensgrenze aussieht.

Trotzdem so verglichen mit den Aufgabenstellungen der Numerik-Klausuren der letzten Jahre in Informatik ist das doch wohl ziemlich fies, falls die Bestehensgrenze nicht bei 20 Punkten oder sowas liegt. Bisherige Klausuren waren deutlich kürzer, behandelten nur weniger und vor allem einfachere Verfahren der Numerik UND es gab weniger "zeige", "beweise" Aufgabenteile. Bei Nichtbestehen weiß ich dann ja, dass ich Fehlerabschätzungen und ein paar bestimmte Verfahren noch mehr üben muss bzw. allgemein extrem geübt sein hilft, da der Zeitdruckt das größte Problem an der Sache ist.